Γραφικές παραστάσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Οι γρα­φι­κές παρα­στά­σεις είναι ένα εξαι­ρε­τι­κό εργα­λείο για να κατα­νο­ή­σου­με καλύ­τε­ρα την ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση. Μας επι­τρέ­πουν να “δού­με” πώς αλλά­ζει η θέση ενός αντι­κει­μέ­νου με το πέρα­σμα του χρό­νου και να κατα­λά­βου­με πιο εύκο­λα τις σχέ­σεις μετα­ξύ των φυσι­κών μεγε­θών που περι­γρά­φουν την κίνη­ση. Με λίγα λόγια, οι γρα­φι­κές παρα­στά­σεις μας δίνουν μια οπτι­κή απει­κό­νι­ση της κίνη­σης, κάνο­ντας πιο εύκο­λη την κατα­νό­η­ση και την ανά­λυ­σή της.

Σχο­λι­κό Βιβλίο

1.1 Ευθύ­γραμ­μη κίνη­ση

Γρα­φι­κή παρά­στα­ση ταχύ­τη­τας σε συνάρ­τη­ση με το χρό­νο

Όπως είδα­με εδώ η ταχύ­τη­τα στην Ευθύ­γραμ­μη Ομα­λή Κίνη­ση είναι στα­θε­ρή, άρα δεν αλλά­ζει καθώς περ­νά­ει ο χρό­νος.

\[ \vec{v} = \frac{ \Delta \vec{x}}{ \Delta t}\ \mu \epsilon\ v = \sigma \tau \alpha \theta. \]

Επο­μέ­νως η γρα­φι­κή παρά­στα­ση της ταχύ­τη­τας σε συνάρ­τη­ση με το χρό­νο θα είναι μία ορι­ζό­ντια ευθεία γραμ­μή, παράλ­λη­λη με τον άξο­να των χρό­νων.

Ας υπο­θέ­σου­με πως στο πάτω­μα κινεί­ται ένα μικρό αυτο­κι­νη­τά­κι με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα \( 2 m/s \) προς τα δεξιά. Η τιμή της ταχύ­τη­τας κάθε δευ­τε­ρό­λε­πτο παρα­μέ­νει ίδια, δηλα­δή \( v = +2 m/s \), όπως φαί­νε­ται στο ακό­λου­θο σχή­μα 1(α).

Αν το αυτο­κι­νη­τά­κι κινεί­ται προς τα αρι­στε­ρά τότε \( v = ‑2 m/s \) και η γρα­φι­κή παρά­στα­ση αυτή τη φορά φαί­νε­ται στο σχή­μα 1(β).

Γρα­φι­κή παρά­στα­ση θέσης σε συνάρ­τη­ση με το χρό­νο

Η εξί­σω­ση κίνη­σης για ένα σώμα που κινεί­ται ευθύ­γραμ­μα και ομα­λά είναι \( x = x_0 + v\ t \). Από τα μαθη­μα­τι­κά γνω­ρί­ζου­με πως η γρα­φι­κή παρά­στα­ση μίας συνάρ­τη­σης αυτής της μορ­φής είναι ευθεία. Ωστό­σο θα εξε­τά­σου­με αυτήν την περί­πτω­ση ανα­λυ­τι­κό­τε­ρα.

Ας υπο­θέ­σου­με ότι το αυτο­κι­νη­τά­κι του προη­γού­με­νου παρα­δείγ­μα­τος ξεκι­νά­ει την κίνη­σή του από το σημείο \( x_0 = +5 m \). Επο­μέ­νως η εξί­σω­ση κίνη­σής του είναι:

\[ x = 5 + 2\ t \qquad (S.I.) \tag{1} \]

Για να κάνου­με τη γρα­φι­κή του παρά­στα­ση μπο­ρού­με να φτιά­ξου­με έναν πίνα­κα τιμών χρη­σι­μο­ποιώ­ντας την εξί­σω­ση (1).

Στο σχή­μα 2(α) φαί­νο­νται τα σημεία που αντι­στοι­χούν στα ζευ­γά­ρια των τιμών χρό­νος — θέση και η ευθεία που διέρ­χε­ται από αυτά.

Χρό­νος t (s)	θέση x (m)
0	5
2	9
4	13
6	17
8	21
10	25
12	29
14	33

Τέλος εξε­τά­ζου­με την περί­πτω­ση που το αυτο­κι­νη­τά­κι κινεί­ται προς τα αρι­στε­ρά, ξεκι­νώ­ντας και πάλι από το σημείο \( x_0 = +5 m \). Η εξί­σω­ση κίνη­σής του αυτή τη φορά είναι:

\[ x = 5 — 2\ t \qquad (S.I.) \tag{2} \]

Συμπλη­ρώ­νου­με παλι έναν πίνα­κα τιμών χρη­σι­μο­ποιώ­ντας την εξί­σω­ση (2) και σχε­διά­ζου­με τα σημεία που αντι­στοι­χούν στα ζευ­γά­ρια των τιμών χρό­νος — θέση και την ευθεία που διέρ­χε­ται από αυτά. Το νέο γρά­φη­μα φαί­νε­ται στο σχή­μα 2(β).

Χρό­νος t (s)	θέση x (m)
0	5
2	1
4	-3
6	-7
8	-11
10	-15
12	-19
14	-23

Φύλ­λο Εργα­σί­ας

Προ­σο­μοιώ­σεις

Ευθύ­γραμ­μη Ομα­λή Κίνη­ση, από τον Ηλία Σιν­τσα­λή.

Δια­γράμ­μα­τα Ομα­λής Κίνη­σης, από τον Ηλία Σιν­τσα­λή.

Χρή­σι­μες πλη­ρο­φο­ρί­ες που παρέ­χουν τα δια­γράμ­μα­τα

Ας δού­με ξανά το διά­γραμ­μα ταχύ­τη­τας — χρό­νου του αυτο­κι­νή­του, όταν αυτό κινεί­ται προς τα δεξιά.

Για το χρο­νι­κό διά­στη­μα 0 — 12s, η ταχύ­τη­τα δια­τη­ρεί­ται στα­θε­ρή. Υπο­λο­γί­ζου­με το εμβα­δόν του παραλ­λη­λο­γράμ­μου ΟΑΒΓ:

\[ Ε_{ΟΑΒΓ} = OA \cdot OB = 2 m/s \cdot 12 s = 24 m \]

Γνω­ρί­ζου­με όμως πως η μετα­τό­πι­ση για το ίδιο χρο­νι­κό διά­στη­μα θα είναι:

\[ Δx = v \cdot Δt = 2 m/s \cdot 12 s = 24 m \]

Παρα­τη­ρού­με πως η μετα­τό­πι­ση του αυτο­κι­νή­του για ένα συγκε­κρι­μέ­νο χρο­νι­κό διά­στη­μα, είναι ίση με το εμβα­δόν που περι­κλεί­ε­ται από την ευθεία του δια­γράμ­μα­τος \( υ – t \) και του άξο­να του χρό­νου.

Τέλος παρα­τη­ρού­με καλύ­τε­ρα το διά­γραμ­μα θέσης — χρό­νου.

Υπο­λο­γί­ζου­με την κλί­ση της γρα­φι­κής παρά­στα­σης, δηλα­δή της ευθεί­ας. Από το ορθο­γώ­νιο τρί­γω­νο ΟΚΛ έχου­με:

\[ εφ φ = \frac{KΛ}{ΟΛ} = \frac{Δx}{Δt} = \frac{24 m}{12 s} = 24 \frac{m}{s} \]

Αυτή τη φορά δια­πι­στώ­νου­με πως η κλί­ση του δια­γράμ­μα­τος χ — t ισού­ται με το πηλί­κο \( \frac{Δx}{Δt} \), εκφρά­ζει δηλα­δή την ταχύ­τη­τα \( υ \) του κινη­τού στην ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση.

Άσκη­ση

Λύση

α) Η ταχύ­τη­τα του αυτο­κι­νή­του έχει μέτρο \( 2, 5 m/s \).

Αυτό σημαί­νει πως κάθε δευ­τε­ρό­λε­πτο δια­νύ­ει 2,5m ή σωστό­τε­ρα η μετα­τό­πι­ση του είναι \( Δx= 2,5m \).

β) Η εξί­σω­ση κίνη­σης του αυτο­κι­νή­του γρά­φε­ται \( x = x_0 + v\ t \).

Δεδο­μέ­νου πως το αυτο­κί­νη­το ξεκι­νά το μηδεν, θέτου­με στην αρχι­κή θέση \( x_0 = 0m \).

Εφό­σον η κίνη­ση έχει φορά προς τα δεξιά, έχου­με \( v = +2, 5 m/s \)

Έτσι η εξί­σω­ση κίνη­σης γίνε­ται \( x = 0 + 2,5 \ t\ (S.I.) \). Έτσι τελι­κά:

\[ x = 2,5\ t \qquad (S.I.) \]

γ) Εφό­σον οι γρα­φι­κές παρα­στά­σεις στην Ε. Ο. Κ. είναι ευθεί­ες, αρκεί να προσ­διο­ρί­σου­με δύο σημεία για καθε­μία, δηλα­δή δύο ζευ­γά­ρια τιμών \( (t, v) \) και \( (t, x) \).

Χρό­νος t (s)	Ταχύ­τη­τα (m/s)
0	2,5
4	2,5

Χρό­νος t (s)	θέση (m)
0	0
4	10