|

Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση και εξισώσεις κίνησης

Ευθύ­γραμ­μη Ομα­λή Κίνη­ση και εξι­σώ­σεις κίνη­σης

man in t shirt riding bicycle on street

Φαντά­σου ένα αυτο­κί­νη­το που κινεί­ται σε έναν ευθύ­γραμ­μο δρό­μο χωρίς να αλλά­ζει η ταχύ­τη­τά του. Το αυτο­κί­νη­το αυτό λέμε πως εκτε­λεί ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση. Η ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση απο­τε­λεί ένα θεμε­λιώ­δες κεφά­λαιο στη μελέ­τη της κινή­μα­τος. Παρό­λο που είναι μια απλή μορ­φή κίνη­σης, απο­τε­λεί την βάση για την κατα­νό­η­ση πιο σύν­θε­των κινή­σε­ων.

Σε αυτό το άρθρο, θα εμβα­θύ­νου­με στις μαθη­μα­τι­κές σχέ­σεις που διέ­πουν αυτήν την κίνη­ση και θα δού­με πώς μπο­ρού­με να τις εφαρ­μό­σου­με σε διά­φο­ρα φυσι­κά φαι­νό­με­να.

Σχο­λι­κό Βιβλίο

1.1 Ευθύ­γραμ­μη κίνη­ση

Η θεω­ρία συνο­πτι­κά

Ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση ονο­μά­ζου­με την κίνη­ση ενός αντι­κει­μέ­νου που κινεί­ται σε ευθεία γραμ­μή, με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα κατά μέτρο και κατεύ­θυν­ση.

Η ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση είναι μία από τις πιο απλές κινή­σεις που μπο­ρού­με να μελε­τή­σου­με στη Φυσι­κή. Μας βοη­θά να κατα­νο­ή­σου­με πιο περί­πλο­κες κινή­σεις και απο­τε­λεί τη βάση για τη μελέ­τη της κίνη­σης των σωμά­των.

Εξι­σώ­σεις κίνη­σης

Ευθύ­γραμ­μη Ομα­λή Κίνη­ση, από τον Ηλία Σιν­τσα­λή.

Εξι­σώ­σεις κίνη­σης

Η εξί­σω­ση κίνη­σης είναι ένας μαθη­μα­τι­κός τύπος που περι­γρά­φει πού βρί­σκε­ται ένα αντι­κεί­με­νο σε οποια­δή­πο­τε χρο­νι­κή στιγ­μή.

Φαντά­σου ότι παρα­κο­λου­θείς ένα αυτο­κί­νη­το που κινεί­ται σε έναν δρό­μο. Η εξί­σω­ση κίνη­σης θα μας πει ακρι­βώς πού βρί­σκε­ται το αυτο­κί­νη­το σε κάθε δευ­τε­ρό­λε­πτο του ταξι­διού του.

Η ακρι­βής μορ­φή της εξί­σω­σης κίνη­σης εξαρ­τά­ται από τον τύπο της κίνη­σης.

Στην ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση η εξί­σω­ση κίνη­σης προ­κύ­πτει αν χρη­σι­μο­ποι­ή­σω τον τύπο της μέσης δια­νυ­σμα­τι­κής ταχύ­τη­τας.

\[ \vec{v} = \frac{ \Delta \vec{x}}{ \Delta t} \tag{1} \]

Θυμή­σου: Αφού η ταχύ­τη­τα είναι στα­θε­ρή, η στιγ­μιαία ταχύ­τη­τα είναι ίση με τη μέση.

Υπο­θέ­του­με, λοι­πόν, πως ένα σώμα ξεκι­νά­ει τη χρο­νι­κή στιγ­μή \( t_0 = 0 \) από τη θέση \( χ_0 \) και κινεί­ται με ταχύ­τη­τα \( \vec{v} \) η τιμή της οποί­ας συμ­βο­λί­ζε­ται απλά με \( v \). Έπει­τα από χρό­νο \( t \) το σώμα μας φτά­νει στη θέση \( \vec{x} \). Έτσι η μετα­τό­πι­σή του θα είναι \( \mathsf{Δ} \vec{x} = \vec{x} — \vec{x}_0 \).

Επει­δή η κίνη­ση είναι ευθύ­γραμ­μη μπο­ρού­με να παρα­λεί­ψου­με για ευκο­λία τα δια­νύ­σμα­τα και να γρά­ψου­με \( \mathsf{Δ} x = x — x_0 \). Έτσι η εξί­σω­ση (1) γίνε­ται:

\[ \vec{v} = \frac{ \vec{x} — \vec{x}_0}{t — t_0} \]

Και αλγε­βρι­κά

\[ v = \frac{ x — x_0}{t — t_0} \]

\[ x — x_0 = v\ (t — t_0) \]

\[ x = x_0 + v\ (t — t_0) \]

Eπει­δή όμως \( t_0 = 0 \), τελι­κά παίρ­νου­με:

$$ \bbox[#FFA,8px,border:2px solid red] { x = x_0 + v\ t } \tag{2} $$

Η σχέ­ση στην οποία κατα­λή­ξα­με είναι στην πραγ­μα­τι­κό­τη­τα μία συνάρ­τη­ση του χρό­νου, μας πλη­ρο­φο­ρεί δηλα­δή ποια θα είναι η θέση του κινού­με­νου σώμα­τος σε σχέ­ση με το χρό­νο.

Αντι­κα­θι­στού­με στην σχέ­ση (2) τις αλγε­βρι­κές τιμές των μεγε­θών που μας δίνο­νται δηλα­δή της αρχι­κής θέσης \(x_0 \) και της ταχύ­τη­τας \( v \).

Αν δεχτού­με την φορά κίνη­σης προς τα δεξιά ως θετι­κή, τότε αν το κινού­με­νο σώμα κινεί­ται προς τα δεξιά η ταχύ­τη­τά του θα έχει θετι­κό πρό­ση­μο (+) και αν κινεί­ται προς τα αρι­στε­ρά, τότε η ταχύ­τη­τα θα έχει αρνη­τι­κό πρό­ση­μο (-).

Παρα­δείγ­μα­τα εξι­σώ­σε­ων κίνη­σης

Σε καθέ­να από τα ακό­λου­θα παρα­δείγ­μα­τα θα βρού­με την εξί­σω­ση κίνη­σης του κινού­με­νου σώμα­τος και θα υπο­λο­γί­σου­με σε ποια θέση θα βρί­σκε­ται αυτό \( 10s \) μετά την έναρ­ξη της κίνη­σης.

Αυτοκινητάκι

Το αυτο­κί­νη­το της εικό­νας ξεκι­νά­ει από τη θέση \( x_0 = 0 \) και κινεί­ται προς τα δεξιά με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα μέτρου \( v = 2 m/s \).

Η εξί­σω­ση κίνη­σης όπως είδα­με γρά­φε­ται \( x = x_0 + v\ t \). Αντι­κα­θι­στού­με τις τιμές της ταχύ­τη­τας και της αρχι­κής θέσης και βρί­σκου­με

\[ x = 0 + 2\ t \qquad (S.I.) \]

\[ x = 2\ t \qquad (S.I.) \]

Έπει­τα από \( 10s \) το αυτο­κί­νη­το θα βρί­σκε­ται στη θέση \( x = 2 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = 20m \).

Ένα δεύ­τε­ρο αυτο­κί­νη­το ξεκι­νά­ει από τη θέση \( x_0 = +5 m \) και κινεί­ται προς τα δεξιά με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα μέτρου \( v = 1,5 m/s \).

Η εξί­σω­ση κίνη­σης \( x = x_0 + v\ t \) γίνε­ται:

\[ x = 5 + 1,5\ t \qquad (S.I.) \]

Έπει­τα από \( 10s \) το αυτο­κί­νη­το θα βρί­σκε­ται στη θέση \( x = 5m + 1,5 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = 20m \).

Το αυτο­κί­νη­το του πρώ­του παρα­δείγ­μα­τος ξεκι­νά­ει από τη θέση \( x_0 = +15 m \) και κινεί­ται προς τα αρι­στε­ρά με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα μέτρου \( v = 1,2 m/s \).

Η εξί­σω­ση κίνη­σης \( x = x_0 + v\ t \) αυτή τη φορά γίνε­ται:

\[ x = 15 — 1,2\ t \qquad (S.I.) \]

Έπει­τα από \( 10s \) το αυτο­κί­νη­το θα βρί­σκε­ται στη θέση \( x = 15m — 1,2 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = +3m \).

Ασκή­σεις

1

Ένας λαγός ξεκι­νά από μια θέση \( x₀ = 10 m \) και κινεί­ται ευθύ­γραμ­μα με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα \( v = 20 m/s \) προς τα δεξιά.

α) Να βρε­θεί η εξί­σω­ση κίνη­σης του λαγού.

β) Σε ποια θέση θα βρί­σκε­ται ο λαγός σε \( 20 s \);

2

Ένα λεω­φο­ρείο ξεκι­νά από μια στά­ση και κινεί­ται ευθύ­γραμ­μα με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα \( 50 km/h \) προς τα δεξιά. Αν θεω­ρή­σου­με ότι η στά­ση είναι η αρχή των αξό­νων.

α) Να βρε­θεί η εξί­σω­ση κίνη­σης του λεω­φο­ρεί­ου

β) Σε ποια θέση θα βρί­σκε­ται το λεω­φο­ρείο σε \( 30 λεπτά \);

3

Ένας ποδη­λά­της ξεκι­νά από το δέντρο που βρί­σκε­ται \( 5 m \) δεξιά από την εξώ­πορ­τα του σπι­τιού του και κινεί­ται ευθύ­γραμ­μα με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα \( 15 km/h \) προς το σχο­λείο του. Αν σε \( 10 s \) ο ποδη­λά­της έχει δια­νύ­σει \( 150 m \), να βρεί­τε:

α) Την ταχύ­τη­τα του ποδη­λά­τη.

β) Την εξί­σω­ση κίνη­σης του ποδη­λά­τη, αν θεω­ρή­σου­με ότι το σπί­τι του είναι η αρχή των αξό­νων και το σχο­λείο βρί­σκε­ται στην αρνη­τι­κή κατεύ­θυν­ση του άξο­να των x.

γ) Τη θέση του ποδη­λά­τη έπει­τα από \( 5 λεπτά \).

 

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *