Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση και εξισώσεις κίνησης

Φαντά­σου ένα αυτο­κί­νη­το που κινεί­ται σε έναν ευθύ­γραμ­μο δρό­μο χωρίς να αλλά­ζει η ταχύ­τη­τά του. Το αυτο­κί­νη­το αυτό λέμε πως εκτε­λεί ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση. Η ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση απο­τε­λεί ένα θεμε­λιώ­δες κεφά­λαιο στη μελέ­τη της κινή­μα­τος. Παρό­λο που είναι μια απλή μορ­φή κίνη­σης, απο­τε­λεί την βάση για την κατα­νό­η­ση πιο σύν­θε­των κινή­σε­ων.

Σε αυτό το άρθρο, θα εμβα­θύ­νου­με στις μαθη­μα­τι­κές σχέ­σεις που διέ­πουν αυτήν την κίνη­ση και θα δού­με πώς μπο­ρού­με να τις εφαρ­μό­σου­με σε διά­φο­ρα φυσι­κά φαι­νό­με­να.

Σχο­λι­κό Βιβλίο

1.1 Ευθύ­γραμ­μη κίνη­ση

Η θεω­ρία συνο­πτι­κά

Ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση ονο­μά­ζου­με την κίνη­ση ενός αντι­κει­μέ­νου που κινεί­ται σε ευθεία γραμ­μή, με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα κατά μέτρο και κατεύ­θυν­ση.

Σημα­ντι­κά χαρα­κτη­ρι­στι­κά της ευθύ­γραμ­μης ομα­λής κίνη­σης:

• Ευθεία γραμ­μή: Το αντι­κεί­με­νο κινεί­ται μόνο σε μια ευθεία γραμ­μή.
• Στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα: Το διά­νυ­σμα της ταχύ­τη­τας \( \vec{v} \) του αντι­κει­μέ­νου παρα­μέ­νει πάντα στα­θε­ρό. Δεν αλλά­ζει ούτε το μέγε­θός του ούτε η κατεύ­θυν­σή του.
• Ίσες απο­στά­σεις σε ίσα χρο­νι­κά δια­στή­μα­τα: Αυτό σημαί­νει ότι αν το αυτο­κί­νη­το δια­νύ­σει 10 m σε σε 1 δευ­τε­ρό­λε­πτο, θα δια­νύ­σει άλλα 10 m το επό­με­νο δευ­τε­ρό­λε­πτο, και ούτω καθε­ξής.

Παρα­δείγ­μα­τα ευθύ­γραμ­μης ομα­λής κίνη­σης:

• Ένα τρέ­νο που κινεί­ται σε ευθεία γραμ­μή με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα.
• Ένας ποδη­λά­της που κινεί­ται σε έναν επί­πε­δο δρό­μο με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα.
• Ένα αντι­κεί­με­νο που γλι­στρά­ει σε ένα ομα­λό πάγο χωρίς τρι­βές.

Για­τί είναι σημα­ντι­κή η ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση;

Η ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση είναι μία από τις πιο απλές κινή­σεις που μπο­ρού­με να μελε­τή­σου­με στη Φυσι­κή. Μας βοη­θά να κατα­νο­ή­σου­με πιο περί­πλο­κες κινή­σεις και απο­τε­λεί τη βάση για τη μελέ­τη της κίνη­σης των σωμά­των.

Εξι­σώ­σεις κίνη­σης

Ευθύ­γραμ­μη Ομα­λή Κίνη­ση, από τον Ηλία Σιν­τσα­λή.

Εξι­σώ­σεις κίνη­σης

Η εξί­σω­ση κίνη­σης είναι ένας μαθη­μα­τι­κός τύπος που περι­γρά­φει πού βρί­σκε­ται ένα αντι­κεί­με­νο σε οποια­δή­πο­τε χρο­νι­κή στιγ­μή.

Φαντά­σου ότι παρα­κο­λου­θείς ένα αυτο­κί­νη­το που κινεί­ται σε έναν δρό­μο. Η εξί­σω­ση κίνη­σης θα μας πει ακρι­βώς πού βρί­σκε­ται το αυτο­κί­νη­το σε κάθε δευ­τε­ρό­λε­πτο του ταξι­διού του.

Για­τί χρεια­ζό­μα­στε την εξί­σω­ση κίνη­σης;

• Για να σχε­διά­σου­με: Χρη­σι­μο­ποιεί­ται για να σχε­διά­σου­με και να ανα­πτύ­ξου­με διά­φο­ρες συσκευ­ές και συστή­μα­τα.
• Για να προ­βλέ­ψου­με: Μας βοη­θά να προ­βλέ­ψου­με πού θα βρί­σκε­ται ένα αντι­κεί­με­νο σε μια μελ­λο­ντι­κή στιγ­μή.
• Για να ανα­λύ­σου­με: Μας επι­τρέ­πει να ανα­λύ­σου­με την κίνη­ση ενός αντι­κει­μέ­νου και να κατα­λά­βου­με πώς αλλά­ζει η θέση του με το χρό­νο.

Πώς μοιά­ζει μια εξί­σω­ση κίνη­σης;

Η ακρι­βής μορ­φή της εξί­σω­σης κίνη­σης εξαρ­τά­ται από τον τύπο της κίνη­σης.

Στην ευθύ­γραμ­μη ομα­λή κίνη­ση η εξί­σω­ση κίνη­σης προ­κύ­πτει αν χρη­σι­μο­ποι­ή­σω τον τύπο της μέσης δια­νυ­σμα­τι­κής ταχύ­τη­τας.

\[ \vec{v} = \frac{ \Delta \vec{x}}{ \Delta t} \tag{1} \]

Θυμή­σου: Αφού η ταχύ­τη­τα είναι στα­θε­ρή, η στιγ­μιαία ταχύ­τη­τα είναι ίση με τη μέση.

Υπο­θέ­του­με, λοι­πόν, πως ένα σώμα ξεκι­νά­ει τη χρο­νι­κή στιγ­μή \( t_0 = 0 \) από τη θέση \( χ_0 \) και κινεί­ται με ταχύ­τη­τα \( \vec{v} \) η τιμή της οποί­ας συμ­βο­λί­ζε­ται απλά με \( v \). Έπει­τα από χρό­νο \( t \) το σώμα μας φτά­νει στη θέση \( \vec{x} \). Έτσι η μετα­τό­πι­σή του θα είναι \( \mathsf{Δ} \vec{x} = \vec{x} — \vec{x}_0 \).

Επει­δή η κίνη­ση είναι ευθύ­γραμ­μη μπο­ρού­με να παρα­λεί­ψου­με για ευκο­λία τα δια­νύ­σμα­τα και να γρά­ψου­με \( \mathsf{Δ} x = x — x_0 \). Έτσι η εξί­σω­ση (1) γίνε­ται:

\[ \vec{v} = \frac{ \vec{x} — \vec{x}_0}{t — t_0} \]

Και αλγε­βρι­κά

\[ v = \frac{ x — x_0}{t — t_0} \]

\[ x — x_0 = v\ (t — t_0) \]

\[ x = x_0 + v\ (t — t_0) \]

Eπει­δή όμως \( t_0 = 0 \), τελι­κά παίρ­νου­με:

$$ \bbox[#FFA,8px,border:2px solid red] { x = x_0 + v\ t } \tag{2} $$

Η σχέ­ση στην οποία κατα­λή­ξα­με είναι στην πραγ­μα­τι­κό­τη­τα μία συνάρ­τη­ση του χρό­νου, μας πλη­ρο­φο­ρεί δηλα­δή ποια θα είναι η θέση του κινού­με­νου σώμα­τος σε σχέ­ση με το χρό­νο.

Πώς βρί­σκου­με όμως την εξί­σω­ση κίνη­σης χρη­σι­μο­ποιώ­ντας τα δεδο­μέ­να της κίνη­σης ενός σώμα­τος;

Αντι­κα­θι­στού­με στην σχέ­ση (2) τις αλγε­βρι­κές τιμές των μεγε­θών που μας δίνο­νται δηλα­δή της αρχι­κής θέσης \(x_0 \) και της ταχύ­τη­τας \( v \).

Αν δεχτού­με την φορά κίνη­σης προς τα δεξιά ως θετι­κή, τότε αν το κινού­με­νο σώμα κινεί­ται προς τα δεξιά η ταχύ­τη­τά του θα έχει θετι­κό πρό­ση­μο (+) και αν κινεί­ται προς τα αρι­στε­ρά, τότε η ταχύ­τη­τα θα έχει αρνη­τι­κό πρό­ση­μο (-).

Παρα­δείγ­μα­τα εξι­σώ­σε­ων κίνη­σης

Σε καθέ­να από τα ακό­λου­θα παρα­δείγ­μα­τα θα βρού­με την εξί­σω­ση κίνη­σης του κινού­με­νου σώμα­τος και θα υπο­λο­γί­σου­με σε ποια θέση θα βρί­σκε­ται αυτό \( 10s \) μετά την έναρ­ξη της κίνη­σης.

Το αυτο­κί­νη­το της εικό­νας ξεκι­νά­ει από τη θέση \( x_0 = 0 \) και κινεί­ται προς τα δεξιά με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα μέτρου \( v = 2 m/s \).

Η εξί­σω­ση κίνη­σης όπως είδα­με γρά­φε­ται \( x = x_0 + v\ t \). Αντι­κα­θι­στού­με τις τιμές της ταχύ­τη­τας και της αρχι­κής θέσης και βρί­σκου­με

\[ x = 0 + 2\ t \qquad (S.I.) \]

\[ x = 2\ t \qquad (S.I.) \]

Έπει­τα από \( 10s \) το αυτο­κί­νη­το θα βρί­σκε­ται στη θέση \( x = 2 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = 20m \).

Ένα δεύ­τε­ρο αυτο­κί­νη­το ξεκι­νά­ει από τη θέση \( x_0 = +5 m \) και κινεί­ται προς τα δεξιά με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα μέτρου \( v = 1,5 m/s \).

Η εξί­σω­ση κίνη­σης \( x = x_0 + v\ t \) γίνε­ται:

\[ x = 5 + 1,5\ t \qquad (S.I.) \]

Έπει­τα από \( 10s \) το αυτο­κί­νη­το θα βρί­σκε­ται στη θέση \( x = 5m + 1,5 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = 20m \).

Το αυτο­κί­νη­το του πρώ­του παρα­δείγ­μα­τος ξεκι­νά­ει από τη θέση \( x_0 = +15 m \) και κινεί­ται προς τα αρι­στε­ρά με στα­θε­ρή ταχύ­τη­τα μέτρου \( v = 1,2 m/s \).

Η εξί­σω­ση κίνη­σης \( x = x_0 + v\ t \) αυτή τη φορά γίνε­ται:

\[ x = 15 — 1,2\ t \qquad (S.I.) \]

Έπει­τα από \( 10s \) το αυτο­κί­νη­το θα βρί­σκε­ται στη θέση \( x = 15m — 1,2 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = +3m \).

Ασκή­σεις

Επί­λο­γος: Για­τί είναι σημα­ντι­κές οι γρα­φι­κές παρα­στά­σεις;

• Οπτι­κο­ποί­η­ση: Μας βοη­θούν να “δού­με” την κίνη­ση και να κατα­λά­βου­με καλύ­τε­ρα πώς εξε­λίσ­σε­ται.
• Σύγκρι­ση: Μπο­ρού­με να συγκρί­νου­με εύκο­λα δια­φο­ρε­τι­κές κινή­σεις και να εντο­πί­σου­με ομοιό­τη­τες και δια­φο­ρές.
• Υπο­λο­γι­σμοί: Από τις γρα­φι­κές παρα­στά­σεις μπο­ρού­με να υπο­λο­γί­σου­με διά­φο­ρα μεγέ­θη, όπως η ταχύ­τη­τα, η από­στα­ση και ο χρό­νος.