Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση και εξισώσεις κίνησης

Φαντάσου ένα αυτοκίνητο που κινείται σε έναν ευθύγραμμο δρόμο χωρίς να αλλάζει η ταχύτητά του. Το αυτοκίνητο αυτό λέμε πως εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση αποτελεί ένα θεμελιώδες κεφάλαιο στη μελέτη της κινήματος. Παρόλο που είναι μια απλή μορφή κίνησης, αποτελεί την βάση για την κατανόηση πιο σύνθετων κινήσεων.
Σε αυτό το άρθρο, θα εμβαθύνουμε στις μαθηματικές σχέσεις που διέπουν αυτήν την κίνηση και θα δούμε πώς μπορούμε να τις εφαρμόσουμε σε διάφορα φυσικά φαινόμενα.
Σχολικό Βιβλίο
Η θεωρία συνοπτικά
Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ονομάζουμε την κίνηση ενός αντικειμένου που κινείται σε ευθεία γραμμή, με σταθερή ταχύτητα κατά μέτρο και κατεύθυνση.
Σημαντικά χαρακτηριστικά της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης:
- Ευθεία γραμμή: Το αντικείμενο κινείται μόνο σε μια ευθεία γραμμή.
- Σταθερή ταχύτητα: Το διάνυσμα της ταχύτητας \( \vec{v} \) του αντικειμένου παραμένει πάντα σταθερό. Δεν αλλάζει ούτε το μέγεθός του ούτε η κατεύθυνσή του.
- Ίσες αποστάσεις σε ίσα χρονικά διαστήματα: Αυτό σημαίνει ότι αν το αυτοκίνητο διανύσει 10 m σε σε 1 δευτερόλεπτο, θα διανύσει άλλα 10 m το επόμενο δευτερόλεπτο, και ούτω καθεξής.
Παραδείγματα ευθύγραμμης ομαλής κίνησης:
- Ένα τρένο που κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα.
- Ένας ποδηλάτης που κινείται σε έναν επίπεδο δρόμο με σταθερή ταχύτητα.
- Ένα αντικείμενο που γλιστράει σε ένα ομαλό πάγο χωρίς τριβές.
Γιατί είναι σημαντική η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση;
Η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση είναι μία από τις πιο απλές κινήσεις που μπορούμε να μελετήσουμε στη Φυσική. Μας βοηθά να κατανοήσουμε πιο περίπλοκες κινήσεις και αποτελεί τη βάση για τη μελέτη της κίνησης των σωμάτων.
Εξισώσεις κίνησης
Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση, από τον Ηλία Σιντσαλή.
Εξισώσεις κίνησης
Η εξίσωση κίνησης είναι ένας μαθηματικός τύπος που περιγράφει πού βρίσκεται ένα αντικείμενο σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή.
Φαντάσου ότι παρακολουθείς ένα αυτοκίνητο που κινείται σε έναν δρόμο. Η εξίσωση κίνησης θα μας πει ακριβώς πού βρίσκεται το αυτοκίνητο σε κάθε δευτερόλεπτο του ταξιδιού του.
Γιατί χρειαζόμαστε την εξίσωση κίνησης;
- Για να σχεδιάσουμε: Χρησιμοποιείται για να σχεδιάσουμε και να αναπτύξουμε διάφορες συσκευές και συστήματα.
- Για να προβλέψουμε: Μας βοηθά να προβλέψουμε πού θα βρίσκεται ένα αντικείμενο σε μια μελλοντική στιγμή.
- Για να αναλύσουμε: Μας επιτρέπει να αναλύσουμε την κίνηση ενός αντικειμένου και να καταλάβουμε πώς αλλάζει η θέση του με το χρόνο.
Πώς μοιάζει μια εξίσωση κίνησης;
Η ακριβής μορφή της εξίσωσης κίνησης εξαρτάται από τον τύπο της κίνησης.
Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η εξίσωση κίνησης προκύπτει αν χρησιμοποιήσω τον τύπο της μέσης διανυσματικής ταχύτητας.
\[ \vec{v} = \frac{ \Delta \vec{x}}{ \Delta t} \tag{1} \]
Θυμήσου: Αφού η ταχύτητα είναι σταθερή, η στιγμιαία ταχύτητα είναι ίση με τη μέση.
Υποθέτουμε, λοιπόν, πως ένα σώμα ξεκινάει τη χρονική στιγμή \( t_0 = 0 \) από τη θέση \( χ_0 \) και κινείται με ταχύτητα \( \vec{v} \) η τιμή της οποίας συμβολίζεται απλά με \( v \). Έπειτα από χρόνο \( t \) το σώμα μας φτάνει στη θέση \( \vec{x} \). Έτσι η μετατόπισή του θα είναι \( \mathsf{Δ} \vec{x} = \vec{x} — \vec{x}_0 \).
Επειδή η κίνηση είναι ευθύγραμμη μπορούμε να παραλείψουμε για ευκολία τα διανύσματα και να γράψουμε \( \mathsf{Δ} x = x — x_0 \). Έτσι η εξίσωση (1) γίνεται:
\[ \vec{v} = \frac{ \vec{x} — \vec{x}_0}{t — t_0} \]
Και αλγεβρικά
\[ v = \frac{ x — x_0}{t — t_0} \]
\[ x — x_0 = v\ (t — t_0) \]
\[ x = x_0 + v\ (t — t_0) \]
Eπειδή όμως \( t_0 = 0 \), τελικά παίρνουμε:
$$ \bbox[#FFA,8px,border:2px solid red] { x = x_0 + v\ t } \tag{2} $$
Η σχέση στην οποία καταλήξαμε είναι στην πραγματικότητα μία συνάρτηση του χρόνου, μας πληροφορεί δηλαδή ποια θα είναι η θέση του κινούμενου σώματος σε σχέση με το χρόνο.
Πώς βρίσκουμε όμως την εξίσωση κίνησης χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της κίνησης ενός σώματος;
Αντικαθιστούμε στην σχέση (2) τις αλγεβρικές τιμές των μεγεθών που μας δίνονται δηλαδή της αρχικής θέσης \(x_0 \) και της ταχύτητας \( v \).
Αν δεχτούμε την φορά κίνησης προς τα δεξιά ως θετική, τότε αν το κινούμενο σώμα κινείται προς τα δεξιά η ταχύτητά του θα έχει θετικό πρόσημο (+) και αν κινείται προς τα αριστερά, τότε η ταχύτητα θα έχει αρνητικό πρόσημο (-).
Παραδείγματα εξισώσεων κίνησης
Σε καθένα από τα ακόλουθα παραδείγματα θα βρούμε την εξίσωση κίνησης του κινούμενου σώματος και θα υπολογίσουμε σε ποια θέση θα βρίσκεται αυτό \( 10s \) μετά την έναρξη της κίνησης.

Το αυτοκίνητο της εικόνας ξεκινάει από τη θέση \( x_0 = 0 \) και κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα μέτρου \( v = 2 m/s \).
Η εξίσωση κίνησης όπως είδαμε γράφεται \( x = x_0 + v\ t \). Αντικαθιστούμε τις τιμές της ταχύτητας και της αρχικής θέσης και βρίσκουμε
\[ x = 0 + 2\ t \qquad (S.I.) \]
\[ x = 2\ t \qquad (S.I.) \]
Έπειτα από \( 10s \) το αυτοκίνητο θα βρίσκεται στη θέση \( x = 2 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = 20m \).

Ένα δεύτερο αυτοκίνητο ξεκινάει από τη θέση \( x_0 = +5 m \) και κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα μέτρου \( v = 1,5 m/s \).
Η εξίσωση κίνησης \( x = x_0 + v\ t \) γίνεται:
\[ x = 5 + 1,5\ t \qquad (S.I.) \]
Έπειτα από \( 10s \) το αυτοκίνητο θα βρίσκεται στη θέση \( x = 5m + 1,5 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = 20m \).

Το αυτοκίνητο του πρώτου παραδείγματος ξεκινάει από τη θέση \( x_0 = +15 m \) και κινείται προς τα αριστερά με σταθερή ταχύτητα μέτρου \( v = 1,2 m/s \).
Η εξίσωση κίνησης \( x = x_0 + v\ t \) αυτή τη φορά γίνεται:
\[ x = 15 — 1,2\ t \qquad (S.I.) \]
Έπειτα από \( 10s \) το αυτοκίνητο θα βρίσκεται στη θέση \( x = 15m — 1,2 \frac{m}{s} \cdot 10 s \) άρα \( x = +3m \).
Ασκήσεις
Ένας λαγός ξεκινά από μια θέση \( x₀ = 10 m \) και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα \( v = 20 m/s \) προς τα δεξιά.
α) Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του λαγού.
β) Σε ποια θέση θα βρίσκεται ο λαγός σε \( 20 s \);
Ένα λεωφορείο ξεκινά από μια στάση και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα \( 50 km/h \) προς τα δεξιά. Αν θεωρήσουμε ότι η στάση είναι η αρχή των αξόνων.
α) Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του λεωφορείου
β) Σε ποια θέση θα βρίσκεται το λεωφορείο σε \( 30 λεπτά \);
Ένας ποδηλάτης ξεκινά από το δέντρο που βρίσκεται \( 5 m \) δεξιά από την εξώπορτα του σπιτιού του και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα \( 15 km/h \) προς το σχολείο του. Αν σε \( 10 s \) ο ποδηλάτης έχει διανύσει \( 150 m \), να βρείτε:
α) Την ταχύτητα του ποδηλάτη.
β) Την εξίσωση κίνησης του ποδηλάτη, αν θεωρήσουμε ότι το σπίτι του είναι η αρχή των αξόνων και το σχολείο βρίσκεται στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα των x.
γ) Τη θέση του ποδηλάτη έπειτα από \( 5 λεπτά \).