Μηχανική Ενέργεια - Διατήρηση Μηχανικής Ενέργειας

Τι είναι η μηχα­νι­κή ενέρ­γεια;

Σε πάρα πολ­λά φαι­νό­με­να λαμ­βά­νει χώρα μετα­τρο­πή ενέρ­γειας από μία μορ­φή σε μία άλλη. Για παρά­δειγ­μα όταν μία μικρή μπά­λα πέφτει, η δυνα­μι­κή της ενέρ­γεια διαρ­κώς ελατ­τώ­νε­ται. Ταυ­τό­χρο­να αυξά­νε­ται η κινη­τι­κή της ενέρ­γεια, αφού αυξά­νε­ται διαρ­κώς η ταχύ­τη­τά της. Για να μπο­ρέ­σεις να κατα­λά­βεις καλύ­τε­ρα την έννοια της μηχα­νι­κής ενέρ­γειας, ακο­λού­θη­σε τα βήμα­τα με τα οποία θα εξε­τά­σου­με το φαι­νό­με­νο, χρη­σι­μο­ποιώ­ντας αρχές της φυσι­κής που ήδη γνω­ρί­ζου­με.

Ενερ­γεια­κή μελέ­τη της Ελεύ­θε­ρης Πτώ­σης

Ας υπο­θέ­σου­με πως η μπά­λα πέφτει από την θέση Α που βρί­σκε­ται σε ύψος h, πάνω από το έδα­φος, στη θέση Δ για την οποία h = 0. Θεω­ρού­με την αντί­στα­ση του αέρα αμε­λη­τέα, ώστε το σώμα να κινεί­ται μόνο υπό την επί­δρα­ση του βάρους του \(\vec{W}\).

Στη θέση Α, η δυνα­μι­κή ενέρ­γεια της μπά­λας θα είναι: U_A = m·g·h. Στη θέση Δ η δυνα­μι­κή ενέρ­γεια της μπά­λας είναι U_Δ = 0. Παρα­τη­ρού­με, λοι­πόν, πως τελι­κά η δυνα­μι­κή ενέρ­γεια της μπά­λας μηδε­νί­ζε­ται, ενώ ταυ­τό­χρο­να έχει απο­κτή­σει ταχύ­τη­τα, άρα και κινη­τι­κή ενέρ­γεια. Μπο­ρού­με να υπο­λο­γί­σου­με την ταχύ­τη­τα της μπά­λας, χρη­σι­μο­ποιώ­ντας τους γνω­στούς μαθη­μα­τι­κούς τύπους της Ελεύ­θε­ρης Πτώ­σης:

$$h=\frac{1}{2}g\cdot t^{2} (1) \; \; \kappa \alpha \iota \; \; \upsilon _{\Delta }=g \cdot t (2)$$

Λύνου­με την (1) ως προς το χρό­νο:

$$t^{2}=\frac{2h}{g}\Leftrightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}(3)$$

και αντι­κα­θι­στού­με το απο­τέ­λε­σμα στη σχέ­ση (2):

$$\upsilon _{\Delta }=g\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} \Leftrightarrow \upsilon_{\Delta} =\sqrt{2gh}$$

Επο­μέ­νως η κινη­τι­κή ενέρ­γεια της μπά­λας θα είναι:

$$K_{\Delta }=\frac{1}{2}m\cdot \upsilon ^{2}=\frac{1}{2}m\cdot 2gh$$

Και τελι­κά:

$$K_{\Delta}=m\cdot g\cdot h$$

Δια­πι­στώ­νου­με πως η κινη­τι­κή ενέρ­γεια της μπά­λας όταν αυτή φτά­νει στο έδα­φος (θέση Δ) είναι ακρι­βώς όση και η δυνα­μι­κή του ενέρ­γεια στην αρχή της κίνη­σης (θέση Α). Θα μπο­ρού­σα­με να πού­με πως η δυνα­μι­κή ενέρ­γεια της μπά­λας μετα­τρά­πη­κε σε κινη­τι­κή, μέσω του έργου του βάρους, έτσι ώστε καθ’ όλη τη διάρ­κεια της πτώ­σης το άθροι­σμα της κινη­τι­κής και της δυνα­μι­κής ενέρ­γειας να παρα­μέ­νει στα­θε­ρό.

Μηχα­νι­κή Ενέρ­γεια

Ονο­μά­ζου­με μηχα­νι­κή ενέρ­γεια Ε το άθροι­σμα της κινη­τι­κής Κ και της δυνα­μι­κής ενέρ­γειας U. Δηλα­δή:

$$E=K+U$$

Με βάση ό,τι είπα­με ως τώρα, κατά τη διάρ­κεια της ελεύ­θε­ρης πτώ­σης της μπά­λας η μηχα­νι­κή ενέρ­γεια παρέ­μει­νε αμε­τά­βλη­τη. Το συμπέ­ρα­σμα αυτό δεν ισχύ­ει μόνο κατά την ελεύ­θε­ρη πτώ­ση των σωμά­των αλλά και σε άλλες περι­πτώ­σεις. Για παρά­δειγ­μα η μηχα­νι­κή ενέρ­γεια δια­τη­ρεί­ται στα­θε­ρή κατά τη διάρ­κεια της αμεί­ω­της ταλά­ντω­σης ενός ελα­τη­ρί­ου ή ενός εκκρε­μούς. Μπο­ρού­με, επο­μέ­νως, να το γενι­κεύ­σου­με δια­τυ­πώ­νο­ντας την Αρχή Δια­τή­ρη­σης της Μηχα­νι­κής Ενέρ­γειας.

Κατά τις μετα­τρο­πές της δυνα­μι­κής ενέρ­γειας σε κινη­τι­κή και αντί­στρο­φα, η μηχα­νι­κή ενέρ­γεια παρα­μέ­νει στα­θε­ρή, εφό­σον δεν έχου­με μετα­τρο­πή αυτής σε ενέρ­γεια άλλης μορ­φής, π.χ. θερ­μό­τη­τα.

Για την περί­πτω­ση που εξε­τά­ζου­με στο μάθη­μά μας, δηλα­δή για την κίνη­ση ενός σώμα­τος στο βαρυ­τι­κό πεδίο της Γης, μπο­ρού­με να γρά­ψου­με:

Όταν ένα σώμα κινεί­ται μόνο υπό την επί­δρα­ση του βάρους του, η μηχα­νι­κή του ενέρ­γεια παρα­μέ­νει στα­θε­ρή.

Μηχα­νι­κή Ενέρ­γεια — Παρου­σί­α­ση